Aspecto analítico
El aspecto analítico de la búsqueda de soluciones x(t) de una ecuación diferencial
dx/dt=f(t,x) , consiste en la obtención de una función elemental x(t) que nos dé
la solución, por medio de cálculos analíticos o algebraicos. Esto quiere decir, cálculos con
letras. También se llama integración de la ecuación diferencial
en términos finitos, o en términos elementales, o en forma cerrada,
o mediante cuadraturas.
Clásicamente a la resolución de una ecuación diferencial se le ha llamado integración, y a sus
soluciones se les llamó integrales. A las integrales
ordinarias, ∫, se les llamó en este contexto
cuadraturas.
Sabemos que una ecuación algebraica de segundo grado ax2+bx+c=0
se puede resolver por una fórmula en términos de sus coeficientes a,b,c, por
medio de radicales (√).
Aunque menos conocidas, también existen fórmulas análogas que nos dan la solución de ecuaciones
algebraicas de grados tres, ax3+bx2+cx+d=0, y cuatro,
ax4+bx3+cx2+dt+e=0. Pero, no existen tales fórmulas
para ecuaciones algebraicas de grado 5 o superior, según demostraron Galois y Abel.
Análogamente, existen ecuaciones diferenciales que no son resolubles mediante fórmulas
que se expresen en términos de funciones elementales por medio de cuadraturas. Por ejemplo,
esto se demostró para las ecuaciones: (1) x'=t2+x2; (2)
x''=6x2+t . Con este problema de imposibilidad ya nos topamos al intentar
hallar las integrales ordinarias
∫e-t2dt, ∫(sen t)/t dt,
∫(cos t)/t dt, ∫et/t dt,
etc.
Portada
de la Sección Departamental
Modificada el 6 de marzo de 2010.
Páginas administradas por Juan-Miguel Gracia:
