Aspecto cualitativo
El estudio cualitativo de las soluciones x(t) de una ecuación diferencial
dx/dt=f(t,x) , consiste en el análisis de las propiedades
"cualitativas"
de las funciones x(t) a partir solamente de la ecuación diferencial.
Dato único: la función f(t,x) .
Posibles propiedades a estudiar:
- ¿es x(t) una función creciente?
- ¿es x(t) una función convexa?
- ¿tiene x(t) máximos relativos?
- ¿existe el límite de x(t) cuando t tiende a infinito?
- ¿es periódica x(t)? En caso afirmativo, ¿cuál es su periodo?
- etc.
Ejemplos sencillos:
- Demostrar que cualquier solución x(t) de
x'=t2+1
es una función creciente.
- Demostrar que ninguna solución x(t) de
x''= et+x'
tiene un máximo relativo.
- Sea u(t) la solución de la ecuación diferencial
x'=(2x2+t)/(3x2 +5)
que satisface la condición inicial x(0)=0. (No intentar la resolución de
esa ecuación.)
- La ecuación diferencial muestra que u''(0)=0. Discutir si
u(t) tiene un máximo o un mínimo relativos en 0 o bien ni uno ni otro.
- Obsérvese que u'(t)≥ 0 para cada t ≥ 0
y que u'(t)≥ 2/3 para cada t ≥ 10/3.
Determinar dos números positivos a y b tales que
u(t)>at-b para cada t ≥ 10/3.
- Demostrar que t/u2(t) → 0 cuando t →
∞.
Detallar el razonamiento.
- Demostrar que u(t)/t tiende a un limite finito cuando
t → ∞ y determinarlo.
- Dada una función v(t) que satisga la ecuación diferencial
t x''(t)+3t[x'(t)]2=1-e-t
para todo t real. (No resolver la ecuación.)
- Si v(t) tiene un extremo relativo en un punto c ≠
0, demostrar que tal extremo es un mínimo.
- Si v(t) tiene un extremo relativo en 0 ¿es un máximo o
un mínimo? Justificar la conclusión.
- Si v(0)=v'(0)=0, hallar la menor constante A
tal que v(t) ≤ At2 para todo t ≥ 0.
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de la Sección Departamental
Modificada el 6 de marzo de 2010.
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