Aspecto cualitativo

El estudio cualitativo de las soluciones x(t) de una ecuación diferencial dx/dt=f(t,x) , consiste en el análisis de las propiedades "cualitativas" de las funciones x(t) a partir solamente de la ecuación diferencial.

Dato único: la función f(t,x) .

Posibles propiedades a estudiar:
  1. ¿es x(t) una función creciente?
  2. ¿es x(t) una función convexa?
  3. ¿tiene x(t) máximos relativos?
  4. ¿existe el límite de x(t) cuando t tiende a infinito?
  5. ¿es periódica x(t)? En caso afirmativo, ¿cuál es su periodo?
  6. etc.


Ejemplos sencillos:
  1. Demostrar que cualquier solución x(t) de
    x'=t2+1
    es una función creciente.
  2. Demostrar que ninguna solución x(t) de
    x''= et+x'
    tiene un máximo relativo.
  3. Sea u(t) la solución de la ecuación diferencial
    x'=(2x2+t)/(3x2 +5)
    que satisface la condición inicial x(0)=0. (No intentar la resolución de esa ecuación.)
    • La ecuación diferencial muestra que u''(0)=0. Discutir si u(t) tiene un máximo o un mínimo relativos en 0 o bien ni uno ni otro.
    • Obsérvese que u'(t)≥ 0 para cada t ≥ 0 y que u'(t)≥ 2/3 para cada t ≥ 10/3. Determinar dos números positivos a y b tales que u(t)>at-b para cada t ≥ 10/3.
    • Demostrar que t/u2(t) → 0 cuando t → ∞. Detallar el razonamiento.
    • Demostrar que u(t)/t tiende a un limite finito cuando t → ∞ y determinarlo.
  4. Dada una función v(t) que satisga la ecuación diferencial
    t x''(t)+3t[x'(t)]2=1-e-t
    para todo t real. (No resolver la ecuación.)
    • Si v(t) tiene un extremo relativo en un punto c ≠ 0, demostrar que tal extremo es un mínimo.
    • Si v(t) tiene un extremo relativo en 0 ¿es un máximo o un mínimo? Justificar la conclusión.
    • Si v(0)=v'(0)=0, hallar la menor constante A tal que v(t) ≤ At2 para todo t ≥ 0.

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Modificada el 6 de marzo de 2010.

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