Aspecto analítico
El aspecto analítico de la búsqueda de soluciones y(x) de una ecuación diferencial
dy/dx=f(x,y) , consiste en la obtención de una función elemental y(x) que nos dé
la solución, por medio de cálculos analíticos o algebraicos. Esto quiere decir, cálculos con
letras. También se llama integración de la ecuación diferencial
en términos finitos, o en términos elementales, o en forma cerrada,
o mediante cuadraturas.
Clásicamente a la resolución de una ecuación diferencial se le ha llamado integración, y a sus
soluciones se les llamó integrales. A las integrales
ordinarias, ∫, se les llamó en este contexto
cuadraturas.
Sabemos que una ecuación algebraica de segundo grado ax2+bx+c=0
se puede resolver por una fórmula en términos de sus coeficientes a,b,c, por
medio de radicales (√).
Aunque menos conocidas, también existen fórmulas análogas que nos dan la solución de ecuaciones
algebraicas de grados tres, ax3+bx2+cx+d=0, y cuatro,
ax4+bx3+cx2+dx+e=0. Pero, no existen tales fórmulas
para ecuaciones algebraicas de grado 5 o superior, según demostró Evariste Galois.
Análogamente, existen ecuaciones diferenciales que no son resolubles mediante fórmulas
que se expresen en términos de funciones elementales por medio de cuadraturas. Por ejemplo,
esto se demostró para las ecuaciones y'=x2+y2 e
y''=6y2+x . Con este problema de imposibilidad ya nos topamos al intentar
hallar las integrales ordinarias
∫e-x2dx, ∫(sen x)/x dx,
∫(cos x)/x dx, ∫ex/x dx,
etc.
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de la Sección Departamental
Modificada el 2 de marzo de 2005.
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