Aspecto cualitativo

El estudio cualitativo de las soluciones y(x) de una ecuación diferencial dy/dx=f(x,y) , consiste en el análisis de las propiedades "cualitativas" de las funciones y(x) a partir solamente de la ecuación diferencial.

Dato único: la función f(x,y) .

Posibles propiedades a estudiar:
  1. ¿es y(x) una función creciente?
  2. ¿es y(x) una función convexa?
  3. ¿tiene y(x) máximos relativos?
  4. ¿existe el límite de y(x) cuando x tiende a infinito?
  5. ¿es periódica y(x)? En caso afirmativo, ¿cuál es su periodo?
  6. etc.


Ejemplos sencillos:
  1. Demostrar que cualquier solución y(x) de
    y'=x2+1
    es una función creciente.
  2. Demostrar que ninguna solución y(x) de
    y''= ex+y'
    tiene un máximo relativo.
  3. Sea y=f(x) la solución de la ecuación diferencial
    y'=(2y2+x)/(3y2 +5)
    que satisface la condición inicial f(0)=0. (No intentar la resolución de esa ecuación.)
    • La ecuación diferencial muestra que f''(0)=0. Discutir si f(x) tiene un máximo o un mínimo relativos en 0 o bien ni uno ni otro.
    • Obsérvese que f'(x)≥ 0 para cada x ≥ 0 y que f'(x)≥ 2/3 para cada x ≥ 10/3. Determinar dos números positivos a y b tales que f(x)>ax-b para cada x ≥ 10/3.
    • Demostrar que x/f2(x) → 0 cuando x → ∞. Detallar el razonamiento.
    • Demostrar que f(x)/x tiende a un limite finito cuando x → ∞ y determinarlo.
  4. Dada una función f(x) que satisga la ecuación diferencial
    xf''(x)+3x[f'(x)]2=1-e-x
    para todo x real. (No resolver la ecuación.)
  5. Si f(x) tiene un extremo relativo en un punto c ≠ 0, demostrar que tal extremo es un mínimo.
  6. Si f(x) tiene un extremo relativo en 0 ¿es un máximo o un mínimo? Justificar la conclusión.
  7. Si f(0)=f'(0)=0, hallar la menor constante A tal que f(x) ≤ Ax2 para todo x ≥ 0.

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Modificada el 2 de marzo de 2005.

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