Sistemas de Volterra-Lotka: x' = ax-bxy; y' = -cy+dxy.

Trayectorias animadas

Trayectorias animadas de otro sistema

A mediados de los años 1920 el biólogo italiano Umberto D'Ancona estaba estudiando poblaciones de varias especies de peces que interactuaban entre sí. Obtuvo datos sobre las capturas que entraban en varios puertos del mar Adriático (Fiume, Trieste y Venecia) durante los años de la Primera Guerra Mundial y siguientes. Los porcentajes de las especies depredadoras (seláceos: tiburones, rayas, torpedos, mantas, águilas de mar, jureles, etc.) sobre el total de peces pescados, venían dados en la tabla siguiente:

D'Ancona estaba intrigado por el gran aumento del porcentaje de seláceos durante la guerra (1914-1918) y el año siguiente. Obviamente, razonaba, el incremento del porcentaje de seláceos se debía al reducido nivel de pesca durante este periodo. Al pescar menos peces había más peces pequeños (sardinas, etc.) para alimento de los peces grandes, y la población de éstos aumentaba.

¿Cómo afectaba esta reducción de la pesca a los peces pequeños? Al pescar menos, su número debería aumentar, pero paradójicamente disminuía. Es decir, la disminución de capturas parecía ser mala para la pesca de los peces comestibles (las sardinas).

Tras agotar todas las posibles explicaciones biológicas, D'Ancona consultó a su suegro, el famoso matemático Vito Volterra (1860-1940). Como era de esperar, Volterra formuló un modelo matemático del crecimiento de los depredadores y de las presas (peces comestibles); modelo que dió una respuesta a la pregunta de D'Ancona. En esta asignatura, daremos una explicación bastante completa de las matemáticas que hay tras este modelo, que ahora se llama de Volterra-Lotka.