Conjeturas sobre Pseudoespectros, Ovalos de Cassini y Laplacianas

Javier Asencor  Juan-Miguel Gracia

16 de Julio de 1998

Sea ℂ^{n×n} el espacio de matrices complejas n × n. Sea A ∈ ℂ^{n×n} una matriz con valores propios simples λ_{1}, …, λ_{n}. Al conjunto {λ_{1}, …, λ_{n}} se le llama el espectro de A y se denota por σ(A). Dada una matriz compleja cualquiera m × n M, la matriz M^{∗}M tiene todos sus valores propios no negativos:

μ_{1} ≥ ⋯ ≥ μ_{n} ≥ 0.

Aquí M^{∗} es la matriz traspuesta conjugada de M. A las raíces cuadradas no negativas de estos valores propios

σ_{k} := (μ_{k})^{1/2}, k = 1, …, n,

se les llama los valores singulares de la matriz M; se denotan también por σ_{k}(M) y están ordenados en sentido decreciente:

σ_{1}(M) ≥ ⋯ ≥ σ_{n}(M) ≥ 0.

Al valor singular mínimo de M, σ_{n}(M), se le denota también por σ_{min}(M). Consideremos ahora la función de variable compleja

z ↦ σ_{min}(zI_{n} − A).

La denotaremos por v(z), vsg(z) o, si z = x+yi con x, y ∈ ℝ, por v(x, y), vsg(x, y), indistintamente. La función

z ↦ ln(| z − λ_{1} | ⋯ | z − λ_{n} |)

es armónica en todos los puntos del plano ℝ^{2} ≡ ℂ excepto en λ_{1}, …, λ_{n}. Por lo tanto, su laplaciana vale cero en dicho dominio D:

∇^{2}ln(| z − λ_{1} | ⋯ | z − λ_{n} |) = 0.

Parece que:

1.- la laplaciana de la función ln v(z) es menor o igual que cero en D:

∇^{2}ln v(z) ≤ 0, para todo z ∈ D.

Llamaremos

N(z) = Nor(z) := ln \frac{v(z)}{| z − λ_{1} | ⋯ | z − λ_{n} |}

and

φ(z) := ∇^{2}N(z)

para todo z ∈ D.

2.- φ(z) es continua en D y que está acotada, i.e. que existe una constante positiva L tal que | φ(z) |< L para todo z ∈ D.

Consideremos la variable z′ := x′ + y′i con x′ e y′ variables reales.

3.-

v(z) =| z − λ_{1} | ⋯ | z − λ_{n} | exp ∫ ∫_{ℝ_{2}} φ(z′)ln | z − z′ | dx′ dy′

para todo z ∈ D.

4.- φ(z) ≤ 0 para todo z ∈ D. Esto sería consecuencia de ser

ln(| z − λ_{1} | ⋯ | z − λ_{n} |)

una función armónica y la laplaciana ∇^{2} un operador lineal.

5.- la integral impropia

∫ ∫_{ℝ_{2}} ∇^{2}N(x′ + y′i) dx′ dy′

es convergente hacia un valor finito e igual a

−2π(n − 1).

Por el teorema de la divergencia o de Gauss se tiene que

∫ ∫_{C(R)} ∇^{2}N(x′ + y′i) dx′ dy′ = ∮_{C(R)} \frac{∂N}{∂n⃗} ds,

siendo C(R) un círculo de centro en el origen y de radio R. Como

∫ ∫_{ℝ_{2}} ∇^{2}N(x′ + y′i) dx′ dy′ = lim_{R→∞} ∫ ∫_{C(R)} ∇^{2}N(x′ + y′i) dx′ dy′,

si R es suficientemente grande, se seguirá que

∫ ∫_{ℝ_{2}} ∇^{2}N(x′ + y′i) dx′ dy′

es aproximadamente igual a la integral de flujo

∮_{C(R)} \frac{∂N}{∂n⃗} ds.

Ahora bien, parece que si R es muy grande la función \frac{∂N}{∂n⃗} es casi constante, K_{R}, en todos los puntos de la circunferencia C(R). Parece que K_{R} = −\frac{n−1}{R}. Entonces

∮_{C(R)} \frac{∂N}{∂n⃗} ds ≃ K_{R} · 2πR = −2π(n − 1).

Con parecida técnica se conjetura que

∮_{C(R)} \frac{∂ ln v}{∂n⃗} ds

es aproximadamente igual a 2π si R es muy grande. Por lo que parece que

∫ ∫_{ℝ_{2}} ∇^{2} ln v dx′ dy′ ≃ 2π.

La diferencia entre los flujos

∮_{C(R)} \frac{∂ ln v}{∂n⃗} ds − ∮_{C(R)} \frac{∂N}{∂n⃗} ds,

sería igual a 2πn pues ln v(z) aportaría un flujo igual a 2π en cada uno de los n valores propios λ_{1}, …, λ_{n} de la matriz A.

Generalización.- Parecidos resultados parecen ser válidos para la función más general

(x, y) ↦ σ_{n−(k−1)}((x + yi)I_{n} − A)

de ℝ^{2} en ℝ, obtenida al considerar el valor singular (n − (k − 1))-ésimo de (x + yi)I_{n} − A en vez del último valor singular de esta matriz, k = 1, …, n.

Denotemos esta función por v_{n−(k−1)}(x, y) y sea la función

N_{n−(k−1)}(x, y) = Nor_{n−(k−1)}(x, y) := ln \frac{v_{n−(k−1)}(x, y)}{| x + yi − λ_{1} | ⋯ | x + yi − λ_{n} |}

Más concretamente, parece que es cierto que:

1.-

∫ ∫_{ℝ_{2}} ∇^{2}N_{n−(k−1)}(x′, y′) dx′ dy′

es convergente e igual a

−2π(n − 1);

2.-

∫ ∫_{ℝ_{2}} ∇^{2} ln v_{n−(k−1)}(x′, y′) dx′ dy′ = 2π.

3.- Cuando k = 1, la laplaciana ∇^{2} ln v_{n}(x, y) es ≤ 0 en todos del plano excepto en los valores propios λ_{1}, …, λ_{n}. O sea, que la función v_{n} es superarmónica. Pero cuando k ≥ 2 parece que la laplaciana ∇^{2}v_{n−(k−1)}(x, y) no conserva constante su signo en ℝ^{2} \ {λ_{1}, …, λ_{n}}.

Nota.- Los experimentos de ordenador han sido realizados utilizando el sistema MATLAB. Los ficheros que se han escrito se llaman:

fidezeta.m, alturas.m, Nor.m, Nor2.m, animacio.m, laplac4.m

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