Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Es una ecuación diferencial de la forma

x′ = a(t)x + b(t).  (1)

Si b(t) ≡ 0 se dice que la ecuación lineal es homogénea . Si, por el contrario, b ≠ 0, se dice que la ecuación es no homogénea o completa. Supondremos que a(t) y b(t) son funciones definidas y continuas en el intervalo (α, β).

Lema 1 “Sea t_{0} ∈ (α, β). Una función v : (α, β) → ℝ es solución de la ecuación diferencial

x′ = a(t)x  (2)

si y sólo si existe una constante real K tal que

v(t) = Ke^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds},

para todo t ∈ (α, β).”

Demostración. Supongamos que v verifica la ecuación (2). Entonces

(\frac{v(t)}{e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}} )′ = \frac{v′(t) e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds} − v(t) a(t) e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}}{e^{2 ∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}} = 0, ∀t ∈ (α, β),

pues v′(t) = a(t)v(t). Por lo tanto existe una constante real K tal que

\frac{v(t)}{e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}} = K, ∀t ∈ (α, β).

Recíprocamente, si v(t) es de la forma

Ke^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}, t ∈ (α, β)

para alguna constante K, entonces

v′(t) = Ka(t) e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds} = a(t) v(t), ∀t ∈ (α, β);

por lo que v es solución de (2).

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Nota.- El Lema 1 describe todas las soluciones de la ecuación lineal homogénea (2): Son todas las funciones proporcionales a

e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds} = exp (∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds) .

Teorema 2 “Dado el punto (t_{0}, x_{0}) perteneciente a la banda (α, β) × ℝ := {(t, x)|α < t < β, x ∈ ℝ}, existe una solución única de la ecuación diferencial

x′ = a(t) x + b(t)

cuya gráfica pasa por dicho punto, y que está definida para todo t del intervalo (α, β).”

Demostración: 1^{o}) Existencia.

Si sustituimos en la ecuación (1) x por el producto de dos funciones uv resulta

u′v + uv′ = a(t) uv + b(t),

lo que equivale a

u′v + u(v′ − a(t) v) = b(t)  (3)

Buscamos ahora una función v que haga cero el coeficiente de u

v′ − a(t) v = 0;  (4)

por el Lema 1, la función v(t) = e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds} verifica (4). Sustituyendo esta función en (3) queda

u′e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds} = b(t).

Luego

u′ = b(t) e^{− ∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}  (5)

Obviamente

(∫_{t_{0}}^{t} b(s) e^{− ∫_{t_{0}}^{s} a(τ) dτ} ds)′ = b(t) e^{− ∫_{t_{0}}^{t} a(τ) dτ}  (6)

Por (5) y (6), las funciones u(t) e ∫_{t_{0}}^{t} b(s) e^{− ∫_{t_{0}}^{s} a(τ) dτ} ds tienen la misma derivada en (α, β). Por lo tanto, difieren en una constante C. Así,

u(t) = ∫_{t_{0}}^{t} b(s) e^{− ∫_{t_{0}}^{s} a(τ) dτ} ds + C.

De donde

x(t) = u(t) v(t) = [∫_{t_{0}}^{t} b(s) e^{− ∫_{t_{0}}^{s} a(τ) dτ} ds + C] e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}.

Imponiendo la condición x(t_{0}) = x_{0} en esta expresión resulta

C = x_{0}

pues ∫_{t_{0}}^{t_{0}} … = 0 (por definición). Luego

x(t) = [∫_{t_{0}}^{t} e^{− ∫_{t_{0}}^{s} a(τ) dτ} b(s) ds + x_{0}] e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}, t ∈ (α, β),

que es la solución de la ecuación (1) que pasa por (t_{0}, x_{0}).

2^{o}) Unicidad.

Si x_{1}(t), x_{2}(t) son dos soluciones de (1), definidas en (α, β), que pasan por (t_{0}, x_{0}), entonces se tiene que

x′_{1}(t) = a(t) x_{1}(t) + b(t)
x′_{2}(t) = a(t) x_{2}(t) + b(t).

Restando estas dos ecuaciones queda

x′_{1}(t) − x′_{2}(t) = a(t) [x_{1}(t) − x_{2}(t)].

Llamando y(t) := x_{1}(t) − x_{2}(t) resulta, pues, que

y′(t) = a(t) y(t).

En virtud del Lema 1 existe una constante K_{1} tal que

y(t) = K_{1} e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}, ∀t ∈ (α, β).

Pero

y(t_{0}) = x_{1}(t_{0}) − x_{2}(t_{0}) = x_{0} − x_{0} = 0.

Luego,

0 = K_{1}

Por lo tanto,

y(t) = 0 ∀t ∈ (α, β);

de donde se sigue que

x_{1}(t) − x_{2}(t) = 0 ∀t ∈ (α, β).

Esto implica que

x_{1}(t) = x_{2}(t) ∀t ∈ (α, β).

Esto prueba la unicidad.

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Comentario.- La demostración de existencia de solución en el Teorema 2, es constructiva. No sólo se demuestra la existencia, sino que se da un procedimiento para encontrar la solución que cumple la condición x(t_{0}) = x_{0}.

Ejercicio.- Demostrar que una función φ(t) es la solución de la ecuación diferencial x′(t) = a(t) x(t) + b(t) si y sólo si existe una constante C tal que

φ(t) = [∫_{t_{0}}^{t} e^{− ∫_{t_{0}}^{s} a(τ) dτ} b(s) ds + C] e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s) ds}, ∀t ∈ (α, β).