1^{o} CIENCIAS AMBIENTALES. EXAMEN DE CÁLCULO Y ÁLGEBRA. 29-1-2002

1. Calcular la derivada de la siguiente función:

f(x) = (\frac{1}{ln(x)})^{2/ cos(x)}

2. Determinar las asíntotas de la función

f(x) = \frac{ln(1 + x^{2}) + cos(x) + x^{2} − 3x}{x + 5}

3. Dada la función

f(x) = \{ \begin{matrix}Ax^{2} + B & si x ≤ 0 \\ ln(1 + x^{2}) + C cos(x) & si x > 0 \end{matrix}

determinar A, B y C para que la función sea derivable hasta el orden 2 en x = 0.

4. Hallar las derivadas direccionales, donde existan, en el punto (0,0) de la función

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2} + y^{3}}{x^{2} + y^{2} + y^{4}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

5. Demostrar que la función z = arctan(y/x) satisface la ecuación

\frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}z}{∂y^{2}} = 0

6. Se quiere forrar una caja rectangular, de 100 m^{3} de volumen con unas telas. La tela de la tapa y el fondo vale 200 euros el m^{2}, y la de los laterales, vale a 100 euros el m^{2}. Calcular las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo, y determinar dicho coste.

7. Sean A = (3, −5, 7) y B = (2, 0, −4) se pide:

(a) Calcular la distancia entre A y B;

(b) Obtener la proyección de A a lo largo de B;

(c) Calcular el coseno del ángulo entre A y B;

(d) Calcular el área del paralelogramo generado por A y B;

(e) Comprobar que se cumple la desigualdad triangular para A y B y explicar geométricamente su significado.