Líneas de rumbo constante o loxodromas.


Sobre la superficie de la Tierra se llaman líneas de rumbo constante o loxodromas a las curvas que cortan a los meridianos bajo un ángulo constante. Dicho de otro modo, son trayectorias a lo largo de las cuales no varía la posición de la aguja de la brújula. Son las derrotas más fáciles de seguir por un barco o por un avión. Por tanto, se utilizan en la navegación. Las loxodromas son llamadas también curvas loxodrómicas.


Llamemos λ y θ a la longitud y la latitud de un punto de la Tierra respecto del meridiano cero y el ecuador, respectivamente. Denotemos por α el ángulo constante que forma la loxodroma con los meridianos, y sea λ0 la longitud del punto de corte de la loxodroma con el Ecuador. Para los cálculos todos estos ángulos serán tomados en radianes. Cada loxodroma está determinada por los valores α y λ0 . Veamos cómo determinar la ecuación esta loxodroma.


Ecuación de una loxodroma.

Sea h(θ) la función h(θ):= ln (sec θ + tg θ). La variable independiente θ varía en el intervalo -π/2 ≤ θ ≤ π/2. A continuación definamos la función f(θ):= (tg α) h(θ). Entonces,

λ = f(θ) + λ0,     -π/2 ≤ θ ≤ π/2     (1)
es la ecuación de esta loxodroma en las coordenadas geográficas θ, λ.


Relación entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas geográficas.


Sea R el radio de una esfera centrada en el origen O. Supongamos que el eje x positivo pasa por la intersección del meridiano cero con el ecuador, y además, que el eje z positivo pasa por el polo norte. Dado un punto P de esta esfera, de coordenadas cartesianas (x,y,z) , su latitud θ será el ángulo que forma el segmento OP con el plano x,y . Sea P' la proyección ortogonal del punto P sobre el plano x,y; la longitud λ de P es el ángulo que forma el segmento OP' con el semieje positivo de las x. Entonces las definiciones de seno, coseno, etc. y el teorema de Pitágoras, nos permiten deducir que

x = R cos θ cos λ

y = R cos θ sen λ

z = R sen θ

Ecuaciones paramétricas de una loxodroma

Sea ahora R el radio de la Tierra (6373,6 km aproximadamente). Entonces, por la ecuación (1) las ecuaciones paramétricas de la loxodroma que intercepta a los meridianos bajo un ángulo α y corta al Ecuador en un punto de longitud λ0 son:

x=R cos θ cos (f(θ)+ λ0),

y=R cos θ sen (f(θ)+ λ0),

z=R sen θ,

donde el parámetro θ varía entre -π/2 y π/2 .

Agradezco a Jaime Molero Caballero por llamar indirectamente mi atención sobre un error que ha habido en estas ecuaciones paramétricas de la loxodroma de parámetros α y λ0 , desde el año 2006 hasta el día 12 de abril de 2017.

En general, hay infinitas curvas loxodrómicas que unen dos puntos fijos P y Q de la superficie terrestre, pero sólo una de ellas es la más corta; es la que gira en torno al eje de la Tierra un ángulo inferior a π. Las loxodromas vienen representadas en el mapa de Mercator por líneas rectas. De ahí la utilidad de estos mapas.

Referencias

  1. Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Loxodrome . Esta es la referencia que hemos usado principalmente. La recomendamos.
  2. James Alexander. "Loxodromes: a rhumb way to go", Mathematics Magazine Vol. 77, no. 5, December 2004, 349-356. Se puede encontrar en Internet usando Google.
  3. Timothy G. Freeman. Portraits of the Earth: a mathematician looks at a map. Amer. Math. Soc, Providence, RI, 2002.

Algunas loxodromas animadas o fijas

Portada de la Sección Departamental

Modificado el 12 de abril de 2017.

Página administrada por Juan-Miguel Gracia: