Matemáticas. Capítulo 1. Tema 1 (sigue).
Valores y vectores propios de una matriz cuadrada.
1º de Ciencias (Ambientales, Alimentos)
Juan-Miguel Gracia
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Valor propio
Dada una matriz cuadrada $\textstyle{A}}$ de orden $\textstyle{3}$ se llama valor propio de $\textstyle{A}$ a un número $\textstyle{\lambda_0}$ tal que existe un vector columna $\textstyle{3 \times 1}$ no nulo $\textstyle{c}$ que satisface
$\displaystyle{A c=\lambda_0 c.}\qquad\qquad (1)$
Al vector $\textstyle{c}$ se
le llama vector propio de $\textstyle{A}$ asociado al valor propio $\textstyle{\lambda_0}$.
Llamando $\textstyle{I_3}}$ a la matriz unidad de orden $\textstyle{3}$, se tiene que (1) es equivalente a
$\displaystyle{(\lambda_0 I_3 - A)c=0.}\qquad\qquad (2)$
Por lo tanto, $\textstyle{\lambda_0}$ es un valor propio de $\textstyle{A}$ si
$\displaystyle{|\lambda_0 I_3 - A|=0.}\qquad\qquad (3)$
donde $\textstyle{|\cdot|}$ denota el determinante. Véase una explicación en este enlace.
En consecuencia, para hallar los valores propios de $\textstyle{A}$, se parte del polinomio en $\textstyle{\lambda}$
$\displaystyle{p(\lambda):=|\lambda I_3 - A|,}\qquad\qquad (4)$
llamado el polinomio característico de $\textstyle{A}$. Es un polinomio de grado $\textstyle{3}$ en la variable $\textstyle{\lambda}$. A continuación, hallamos las raíces de la ecuación $\textstyle{p(\lambda)=0}$.
Estas raíces son los valores propios de $\textstyle{A}$; como un polinomio de grado $\textstyle{3}$ tiene a lo más $\textstyle{3}$ raíces distintas, el número de valores propios distintos de la matriz $\textstyle{A}$ es menor o igual que $\textstyle{3}.$
Vector propio
Sea $\textstyle{\lambda_0}$ un valor propio asociado a $\textstyle{A}$. Para hallar un vector propio de $\textstyle{A}$ asociado a $\textstyle{\lambda_0}$ resolvemos el sistema de ecuaciones
$\displaystyle{(\lambda_0 I_3 - A)c=0.}\qquad\qquad (5)$
donde
$\displaystyle{c=\left(\begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right).}$
Una vez hallada una solución cualquiera $\textstyle{c}$ con alguna componente $\textstyle{c_i}$ distinta de 0, habremos obtenido un vector propio. Esto es (casi) todo lo que hay que saber.
Hay explicaciones detalladas en este documento, para imprimir en Papel y para navegar en la Pantalla.
Un ejercicio sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
Aquí acaba el Tema 1.
Tema 2.
Modificado el 14 de noviembre de 2011.
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