La ecuación diferencial x'=|x|

Trayectorias o soluciones animadas

Un teorema de existencia y unicidad de soluciones nos dice que si f(t,x) y ∂f/∂x (t,x) son funciones continuas, entonces el problema de condición inicial x'=f(t,x), x(t₀)=x₀ tiene una solución única. Pero la función f(t,x)=|x| no tiene derivada parcial respecto de x en cualquier punto (t,0). Ahora bien, la condición de que exista ∂f/∂x (t,x) y sea continua, puede sustituirse por la condición menos restrictiva de que f(t,x) satisfaga una condición de Lipschitz respecto de x para una constante K>0

|f(t,x₁)-f(t,x₂) | ≤ K |x₁-x₂|

y la conclusión del teorema sigue siendo cierta: existe solución única. Como | |x₁|-|x₂| | ≤ |x₁-x₂| , se sigue que f(t,x)=|x| satisface una condición de Lipschitz respecto de x con constante K=1. Por tanto, para cualquier número real t₀ el problema de condición inicial x'=|x|, x(t₀)=0, tiene solución única; en consecuencia, la solución constante x(t)=0 es la única solución.

Acreditaciones

• Las imágenes .gif han sido obtenidas con MATLAB con la "toolbox" vfv para visualizar campos vectoriales, escrita por Nima Bigdely Shamlo. La he copiado del repositorio de ficheros de terceros en MathWorks. En particular, he utilizado la función explorevfield que construye una película de MATLAB o "movie" mediante convolución con integrales curvilíneas ("LIC" o "Line Integral Convolution"). El método LIC fue ideado por Cabral y Leedom en 1993.

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