Las ecuaciones diferenciales x'=max(t,x), x'=min(t,x)

Trayectorias o soluciones animadas

Un teorema de existencia y unicidad de soluciones nos dice que si f(t,x) y ∂f/∂x (t,x) son funciones continuas, entonces el problema de condición inicial x'=f(t,x), x(t₀)=x₀ tiene una solución única. Pero las funciones f(t,x)=max(t,x) y f(t,x)=min(t,x) no tienen derivada parcial respecto de x en cualquier punto (t,x), t=x. Ahora bien, la condición de que exista ∂f/∂x (t,x) y sea continua, puede sustituirse por la condición menos restrictiva de que f(t,x) satisfaga una condición de Lipschitz respecto de x para una constante K>0

|f(t,x₁)-f(t,x₂) | ≤ K |x₁-x₂|

y la conclusión del teorema sigue siendo cierta: existe solución única. Es fácil comprobar que

|max(t,x₁)-max(t,x₂)| ≤ |x₁-x₂|

|min(t,x₁)-min(t,x₂)| ≤ |x₁-x₂|

Por lo tanto, para cualquier punto (t₀,x₀) del plano, los problemas de condición inicial

x'=max(t,x), x(t₀)=x₀
y

x'=min(t,x), x(t₀)=x₀

tienen solución única. Las figuras que siguen representan las soluciones de estas ecuaciones diferenciales en el cuadrado -3 ≤ t ≤ 3, -3 ≤ x ≤ 3.

x'=max(t,x)

x'=min(t,x)

Acreditaciones

• Las imágenes .gif han sido obtenidas con MATLAB con la "toolbox" vfv para visualizar campos vectoriales, escrita por Nima Bigdely Shamlo. La he copiado del repositorio de ficheros de terceros en MathWorks. En particular, he utilizado la función explorevfield que construye una película de MATLAB o "movie" mediante convolución con integrales curvilíneas ("LIC" o "Line Integral Convolution"). El método LIC fue ideado por Cabral y Leedom en 1993.

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