Carácter: troncal.

Duración: 1^er cuatrimestre.

Créditos: teóricos: 3, prácticos: 1,5, totales: 4,5.

Juan-Miguel Gracia (Grupo 16).

Se explicará el cálculo diferencial de funciones de varias variables reales. Se pondrá énfasis en el significado geométrico de las gráficas de funciones y los mapas de las curvas y superficies de nivel; también en los campos de gradientes y su relación con las curvas de nivel.

1. Curvas de nivel.
2. Límites. Continuidad.
3. Derivadas parciales y direccionales.
4. Diferencial. Gradiente. Puntos críticos.
5. Derivadas parciales segundas.
6. Condición suficiente de diferenciabilidad.
7. Regla de la cadena.
8. Aplicaciones geométricas. Conjuntos de nivel. Planos tangentes.
9. Máximos, mínimos y puntos de ensilladura.

Capítulo 2.- Espacio euclídeo.

1. Vectores.
2. Producto escalar.
3. Desigualdad de Schwarz. Teorema de Pitágoras.

1. T.M. Apostol: Calculus, 2 volúmenes, Reverté, Barcelona, 1978. Claro; riguroso. El volumen 2 se usará para toda la asignatura.
2. Marsden y Tromba: Cálculo vectorial. Didáctico con muy buenas figuras.
3. Larson, Hostetler y Edwards: Cálculo II, 7ª edición , Pirámide, Madrid, 2002. ¡Un clásico! Didáctico. Muy buenas figuras. Ejercicios complementarios muy originales.
4. Salas y Hille: Calculus, Tomo 2, 3ª edición, Reverté, Barcelona, 1994. Didáctico con buenas figuras. Contiene presentaciones originales como la colección de figuras de las tres primeras hojas del Tomo 1, en las que describe todo el cálculo infinitesimal sólo mediante gráficas.
5. S. Lang: Álgebra lineal, Fondo Educativo Interamericano, 1993. Elemental, recomendado para el Capítulo 2.

1. M.R. Spiegel: Teoría y problemas de cálculo avanzado, Colección Schaum, McGraw-Hill.
2. Demidovich: 5000 problemas de análisis matemático.
3. Bombal, Rodríguez Marín, Vera: Problemas de análisis matemático, tomo 2. Cálculo diferencial, Editorial AC, Madrid, ¡nivel alto!

Conocimientos previos

1. Funciones de una variable real:
   1. idea intuitiva de límite y continuidad;
   2. saber derivar funciones elementales;
   3. derivabilidad: concepto y definición;
   4. interpretación física de la derivada: velocidad;
   5. interpretación geométrica de la derivada: recta tangente;
   6. recta tangente y=mx+b a una curva y=f(x); la pendiente m=f'(x); tangente de un ángulo; relaciones entre estos conceptos;
   7. teorema de valor medio;
   8. las funciones con derivada nula son constantes;
   9. intervalos donde una función es monótona: creciente o decreciente;
   10. máximos y mínimos relativos;
   11. intervalos donde una función es cóncava o convexa; puntos de inflexión;
2. Funciones elementales:
   1. Exponencial f(x)=e^x : f'(x)=e^x; Para todo número real x se tiene que e^x > 0; e^x es una función estrictamente creciente; lím _{x → ∞} e^x = ∞ ; lím _{x → -∞} e^x = 0; e^x+y = e^xe^y ; e⁰ = 1. Esta es la función más importante de las Matemáticas.
   2. Logaritmo neperiano ln x : función recíproca o inversa de e^x; ln (xy) = ln x + ln y; ln 1 = 0; lím _{x → 0+} ln x = -∞ ; lím _{x → ∞} ln x = ∞ ;
   3. sen x ; cos x ; tg x ; arcsen x ; arccos x ; arctg x .

Lecturas colaterales recomendadas

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Modificada el 25 de septiembre de 2009.

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