Juan-Miguel Gracia

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Universidad del País Vasco, Departamento de Matemática Aplicada y Estadística, Facultad de Farmacia, Paseo de la Universidad, 7; ES-01006 Vitoria-Gasteiz, Spain

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Investigación:

Temas generales: Teoría de Matrices, Análisis Matricial, Álgebra Lineal.

Temas especiales: perturbación espectral; pseudoespectros; valores singulares; funciones matriciales; derivadas de valores propios; matrices más próximas con forma de Jordan menos genérica.



 

Manuscritos desde 1996

 

1996

Safety neighbourhoods for the invariants of the matrix similarity (1996).      Abstract: We give safety neighbourhoods for the necessary conditions in the change of  the Jordan  canonical form of a matrix under small perturbations. We also obtain the minimum distance from a n × n complex matrix which has less than k nonconstant invariant factors (k=2,...,n ) to the set of matrices which have more or equal to k. When k=2, we get in particular the distance from a nonderogatory matrix to the set of derogatory matrices.
rootjord.dvi.
 
 

1997


1998

Safety neighbourhoods for the Kronecker canonical form (1998).      Abstract: We give safety neighbourhoods for the necessary conditions in the change of the Kronecker canonical form of a matrix pencil under small perturbations. root98_2.dvi
 
 

Conjeturas sobre pseudoespectros, óvalos de Cassini y laplacianas (1998).
armonica.dvi.
 

1999

Nearest pair with more nonconstant invariant factors. Pseudospectrum (1999).      Abstract: Let (A,B) be a pair of complex matrices n × n y n × m. Suppose that the number of nonconstant (¹ 1) invariant factors of the polynomial matrix l[In,0]-[A,B] is less than k . For all complex number l denote by sn-(k-1) (l[In,0]-[A,B] ) the greatest (n-(k-1))th singular value of the matrix l[In,0]-[A,B].   The minimum absolute value of the real function of a complex variable l ® sn-(k-1) (l[In,0]-[A,B] ) gives the distance from (A,B) to the set of pairs with more or equal number of nonconstant invariant factors. When k=1, this specializes in the formula of Eising for the distance from a controllable pair (A,B) to the nearest uncontrollable pair.
    The complex numbers l lying in the subset level { l Î C : sn (l[In,0]-[A,B] ) £ e } are the uncontrollable modes of all the pairs that are within an e tolerance of (A,B).
uno99.dvi
 
 

Smooth Jordanization (1999).      Abstract: Let A be a square complex matrix function of class Cp defined on an open interval (a,b) of the real line. Then for all t in (a,b), the matrix A(t) is similar to a matrix Jt in Jordan form; so there exists an invertible matrix Pt such that Pt-1A(t)Pt=Jt. We give a partial answer to the question: Can the function that associates Pt with t be chosen of class Cp?
smojorda.ps.
 
 

Flows of matrix pencils (21 de abril de 1999).      Abstract: We consider some matrix ordinary differential equations whose solutions preserve some features of the initial conditions; for example the Kronecker canonical form of a matrix pencil, or the Brunovsky canonical form of a matrix pair.
 flows.dvi

2000


2001

Geometric multiplicity margin for a submatrix (19 de febrero de 2001).      Abstract: Let G be a square complex matrix with less than k nonconstant invariant factors. We find a complex matrix that gives an optimal approximation to G among all possible matrices that have more than or equal to k invariant factors, obtained by varying only the entries of a bottom right submatrix of G.
margin.dvi, margin.ps, Versión Papel: margin.pdf, Versión Pantalla: marginweb.pdf.
 
 

La integral multiplicativa (21 de octubre de 2001).      Extracto: Se analiza la relación de la integral multiplicativa de Volterra con la derivada logarítmica y los sistemas diferenciales lineales.
     Versión Pantalla: InteMult.pdf.
 
 





2002

xyz (21 de enero de 2002).      Extracto: Se destaca la importancia clave de los símbolos para la comprensión de las matemáticas que, sin ellos, serían ininteligibles. Se analiza la evolución de algunos de estos signos. Asimismo, se comenta la gran utilidad de la notación de Leibniz para la enseñanza del cálculo infinitesimal.
     Versión Pantalla:xyz.pdf.
     Versión Papel:xyzp.pdf.
     Fichero fuente: xyz.tex.
 
 

Álgebra lineal tras los buscadores de Internet (11 de noviembre de 2002).      Extracto: Se analizan dos aplicaciones del álgebra lineal a la construcción de buscadores de Internet: el valor asignado a cada página web por Google, y el análisis semántico latente.
     Versión Pantalla: busca.pdf.
     Versión Papel: buscap.pdf.

     Si tiene problemas para ver los enlaces que hay en busca.pdf, descargue el fichero defi.pdf, y ponga ambos ficheros en la misma carpeta.
 
 

Matrices no negativas, paseos aleatorios y cadenas de Markov (11 de noviembre de 2002).      Extracto: Damos algunas definiciones de digrafo, cadena de Markov, paseo aleatorio, así como su relación con la teoría de Perron Frobenius de matrices no negativas. Contiene programas en Matlab.
     Versión Pantalla: defi.pdf.
     Versión Papel: defip.pdf.
   

2003

2004

Multiplicities of pseudoeigenvalues, Presentation ILAS04, Coimbra, July 20, 2004.      Abstract: Let A be an n-by-n complex matrix. For each ε > 0 let T be a connected component of the strict ε-pseudospectrum of A. The sum of the algebraic multiplicities of the eigenvalues of all matrices X such that || X - A || < ε that are inside T, is equal to the sum of the algebraic multiplicities of all eigenvalues that are inside T. Here ||·|| is the spectral norm.
    Screen: multpseudo.pdf.
     Alternative files for screen: mltpsd.pdf; + figures.pdf; or pvisible.pdf
   

Concepto de pseudoespectros

El pseudoespectro de una matriz A compleja cuadrada de orden n de nivel ε > 0 se define como el conjunto unión de todos los espectros de las matrices X que distan de A menos o igual que ε en la distancia del espacio de matrices asociada a la norma espectral matricial. Se denota por Λε (A). A continuación mostramos una imagen gif que describe la evolución de Λε (A) al crecer ε desde 0.



Esta animación corresponde a la matriz de orden 3



cuyos valores propios son



Los números de condición de estos valores propios (simples) son, respectivamente,



Las tres componentes conexas del pseudoespectro de nivel ε crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es el número de condición del valor propio de A que contienen. De hecho si δj(ε) es el diámetro de la componente conexa que contiene al j-ésimo valor propio, entonces su derivada por la derecha en 0 viene dada por δ'j(0+)= 2 c(λj).


Más información sobre pseudoespectros de una matriz puede verse en 




2005

Nearest matrix with two prescribed eigenvalues, enlace a la revista Linear Algebra and Its Applications.

2006

Stability of controlled invariant subspaces, con Francisco E. Velasco: enlace a la revista Linear Algebra and Its Applications.

2008

Nearest southeast submatrix that makes multiple a prescribed eigenvalue. Part 1, con Francisco E. Velasco: enlace a la revista Linear Algebra and Its Applications.

2009

Multiplicities of the structured pseudoeigenvalues. arXiv:0907.1980v2 [math.SP]

Límites de valores singulares de un haz de matrices. Limites.pdf (presentación).


2010

Nearest southeast submatrix that makes multiple an eigenvalue of the normal northwest submatrix, pdf , con Francisco E. Velasco

Lipschitz stability of controlled invariant subspaces, pdf , con Francisco E. Velasco

Identical pseudospectra of any geometric multiplicity, pdf, con Gorka Armentia y Francisco E. Velasco

Derivatives of the diameter and the area of a connected component of the pseudospectra, pdf, con Gorka Armentia y Francisco E. Velasco

Second order pseudospectra of normal matrices, pdf, con Gorka Armentia y Francisco E. Velasco




2014

My road to the spectral perturbation of matrices, pdf. Presentación beamer que contiene mi conferencia de despedida en el congreso ALAMA-GAMM/ANLA'2014, July 14-16, Barcelona, que fue dedicado a homenajearme, con ocasión de mi próxima jubilación.

También puede verse aquí un extracto de lo que dije en esa conferencia.


Libros

Fe de erratas advertidas en el libro (en pdf) Forma canónica de Kronecker por Juan-Miguel Gracia y Lourdes Ortiz de Elguea.




¿Qué hay de "mi libro" sobre perturbación espectral de matrices?

Ejercicios visuales de matemáticas


 Utilidades
 

2002


Intercambio de matrices entre Matlab y LaTeX (17 de mayo de 2002).     Extracto:  Con la ayuda de la función latexmat de Matlab se puede convertir una matriz que se tenga en una sesión de Matlab a código LaTeX. Para hacer el cambio inverso, basta utilizar el mecanismo de "Reemplazar todo" para transformar, en dos pasadas, los símbolos & y \\ en blancos.
    Versión Papel:  ltxmtlb.pdf
 
 


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Modificada el 5 de septiembre de 2014.