Matemáticas
1º de CCAA y 1º de CTA. Curso 2014-15.
Modificado el 14 de julio de 2015.
Objetivo principal: Conocer y usar con soltura
- el
cálculo diferencial de funciones de varias variables reales, y
- las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Objetivos más detallados
- Deducir propiedades locales y globales de las funciones de una, dos y tres variables a partir de sus gráficas y los mapas de las curvas y superficies de nivel.
- Optimizar funciones. Ajustes por mínimos cuadrados.
- Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
Imágenes para motivar el Capítulo 1
- Tema 0.- Funciones de una variable real. Repaso.
Imágenes para motivar el Capítulo 2
Metodología
La letra B señala
las páginas de material básico. Serán las explicadas en clase. Las letras NB indican material no básico; no obstante,
es aconsejable leerlas.
Se hará más hincapié en los conceptos que en las definiciones y los teoremas.
Los conceptos serán introducidos mediante ejemplos y (casi) todas las clases son de resolución de ejercicios y explicación de ejemplos.
Se intentará explicar unas "matemáticas visuales". Para ello se hará uso abundante de figuras y gráficas para ilustrar los conceptos. Este aspecto incluirá figuras animadas. Los exámenes contendrán ejercicios visuales.
Bibliografía básica
- S. Lang: Linear algebra . Existe traducción al castellano Álgebra lineal . Para el Capítulo 1.
- T.M. Apostol: Calculus, Volumen 2. Reverté, Barcelona, 1978. Para el Capítulo 1.
- R. Larson, R.P. Hostetler, B.H. Edwards: Cálculo II, 8ª edición. Mcgraw-Hill/Interamericana de México, México, 2006.
Para el Capítulo 1.
- O. Plaat: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Reverté, Barcelona, 1974. Para el Capítulo 2.
Bibliografía de profundización
- J.E. Marsden, A.J. Tromba: Cálculo vectorial. Pearson Educación, S.A., Madrid, 2004.
Traducido por P. Cifuentes y tres profesores más de la Universidad Autónoma de Madrid. Para el Capítulo 1.
- S. Lang: Calculus . Varios tomos. Breves y concisos. Para el Capítulo 1.
- S. Salas y E. Hille: Calculus, Tomo 2. Tercera edición, Reverté, Barcelona, 1994. Para el Capítulo 1.
- B. P. Demidóvich, G .Baranenkov: Problemas y ejercicios de análisis matemático, 11ª edición. Paraninfo, Madrid, 1993.
Para el Capítulo 1.
- P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R.Hall: Ecuaciones diferenciales. Thomson, México, 1999. Para el Capítulo 2.
- J. Polking, A. Boggess, D. Arnold: Differential equations. Prentice Hall, 2001. Para el Capítulo 2.
- P. Henrici: Discrete variable methods in ordinary differential equations. John Wyley, 1968. Para el Capítulo 2.
- A.I. Kiseliov , M.L. Krasnov, G.I. Makarenko: Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Mir, Moscú, 1992.
Para el Capítulo 2.
Sobre el examen final
- Sólo se pueden llevar 4 hojas (DIN A4) de apuntes; es decir, 8 páginas.
- Se recomienda llevar útiles de dibujo: regla graduada, lápiz, escuadra y cartabón (para el trazado de paralelas), compás, etc.
- También se debe traer calculadora.
- No se permite usar, ni mirar, móviles, tabletas, ordenadores portátiles, etc.
¿Puedo cursar esta asignatura?
Conocimientos previos
Es muy importante que el estudiante conozca y maneje con soltura antes de empezar a cursar esta asignatura los conceptos siguientes:
Hechos fundamentales
Cálculo infinitesimal: Funciones de una variable real, a saber
- idea intuitiva de límite y continuidad;
- saber derivar funciones elementales;
- derivabilidad: concepto y definición;
- interpretación física de la derivada: velocidad;
- interpretación geométrica de la derivada: recta tangente;
- recta tangente $\textstyle{y=mx+b}$ a una curva $\textstyle{y=f(x)}$;
la pendiente $\textstyle{ m=f '(x)}$;
- tangente de un ángulo; relaciones entre estos conceptos;
- teorema de valor medio;
- las funciones con derivada nula son constantes;
- intervalos donde una función es monótona: creciente o decreciente;
- máximos y mínimos relativos;
- intervalos donde una función es cóncava o convexa; puntos de inflexión.
- Función exponencial $\textstyle{f(x)=\exp(x)=\mathrm{e}^x}$
- $\textstyle{ f '(x)=\exp(x)=\mathrm{e}^x}$;
- para todo número real $\textstyle{x}$ se tiene que $\textstyle{\mathrm{e}^x > 0}$;
- $\textstyle{\mathrm{e}^x}$ es una función estrictamente creciente;
- $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\mathrm{e}^x=\infty}$;
- $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\mathrm{e}^x=0}$;
- $\textstyle{\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x \mathrm{e}^y}$;
- $\textstyle{\mathrm{e}^0=1}$.
-
- Logaritmo neperiano $\textstyle{\ln x}$ : función recíproca o inversa de $\textstyle{\mathrm{e}^x}$;
- $\textstyle{\ln (xy) = \ln x + \ln y}$;
- $\textstyle{\ln 1 = 0}$;
- $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} \ln x =\infty}$;
- $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \ln x =-\infty}$.
-
- Funciones trigonométricas y sus inversas:
- $\textstyle{\mathrm{sen}\, x}$ ;
- $\textstyle{\cos x}$;
- $\textstyle{\mathrm{tg}\, x}$ ;
- $\textstyle{\mathrm{arcsen}\, x}$ ;
- $\textstyle{\mathrm{arccos}\, x}$ ;
- $\textstyle{\mathrm{arctg}\, x}$.
Geometría
- Teorema de Pitágoras.
- Semejanza de triángulos.
- Medida de un ángulo en radianes.
- Tangente de un ángulo.
- Producto escalar de vectores. Producto vectorial de vectores de tres dimensiones.
- Rectas en el plano. Vector normal a una recta.
- Rectas y planos en el espacio. Vector normal a un plano.
- Distancia de un punto a un plano.
- Ecuación de la circunferencia y de la elipse.
- Recta tangente a una circunferencia en un punto.
- Ecuación de una esfera.
- Plano tangente a una esfera en un punto.
Álgebra
- Suma y producto de matrices de dimensiones $\textstyle{\le 3}$.
- Determinante de matrices cuadradas de órdenes 2 y 3.
- Matriz inversa de matrices cuadradas de órdenes 2 y 3.
- Sistemas de ecuaciones lineales con 2 ó 3 incógnitas.
- Polinomios en una variable $\textstyle{p(x)}$ de grado $\textstyle{\le 3}$. Raíces.
- Representación gráfica de un polinomio $\textstyle{y=ax^2+bx+c}$. Discriminante $\textstyle{\Delta=b^2-4ac}$.
Para repasar o aprender estos conceptos, lo mejor es que use sus libros de Matemáticas de 1º y 2º de Bachillerato.
No obstante, podemos recomendarle los tres libros siguientes:
- D. Pestana y otros: Curso práctico de cálculo y precálculo. Ariel, Barcelona, 2007.
- R. Larson y R. Hostetler : Precálculo, 7ª edición. Reverté, Barcelona.
- Claudia Neuhauser: Matemáticas para Ciencias, 2ª edición. Prentice-Hall, Madrid, 2004.
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