- 9 de febrero de 2012. Aclaración sobre la forma de obtener la nota definitiva $\textstyle{d,\; 0\le d \le 10.}$ He visto que muchos estudiantes no comprenden la fórmula que uso para obtener la nota $\textstyle{ d } $ a partir de las notas
de los parciales ($\textstyle{ p, 0\le p\le 2 } $), el trabajo ($\textstyle{ t, 0\le t\le 4 } $) y el examen final ($\textstyle{ f, 0\le f\le 10 } $). Por ejemplo, un estudiante que ha obtenido las notas ($\textstyle{p=0.61, t=3.3, f=1 } $) le sale una nota definitiva $\textstyle{ d=4.52 } $, redondeada a $\textstyle{ d=4.5 } $. Este estudiante ha venido a ver cómo ha hecho el examen final pues, según dice, le faltan 5 décimas. Como el máximo valor posible de la suma ($\textstyle{ p+t+f } $) es igual a 16, yo le digo que no le faltan 5 décimas. La razón es la siguiente:
Él ha obtenido una nota de 0.61+3.3+1=4.91 sobre 16. Por tanto, si hacemos la regla de tres
$\displaystyle{16 \longrightarrow 10 }$,
$\displaystyle{4.91 \longrightarrow x }$,
se obtiene
$\displaystyle{x= \frac{4.10\times 10}{16}=2.56 }$,
Con esta nota, le faltan 2.44 puntos para llegar a 5.
Claro que un problema que tiene el estudiante genérico es cómo hallar la nota $\textstyle{f} $ necesaria para obtener $\textstyle{d=5} $, conociendo los valores de $\textstyle{p,}$ y de $\textstyle{t}$, y que
$\displaystyle{d:= p+t + \left(1-\frac{p+t}{10}\right)f }$.
Pero esto es consecuencia de la calamidad pública que padece la enseñanza.
- 9 de febrero de 2012. Reclamaciones que han sido atendidas favorablemente: Notas de los Parciales y Trabajos; Examen final: Enlace
- Hasta la convocatoria de junio de 2012 se mantienen las notas obtenidas en los dos exámenes parciales y el trabajo.
- Para el examen final entra todo lo explicado en clase; a saber Temas 1, 2 y 3 + Hojas 7-13 a 7-20 del Tema 7.
- He modificado a la baja los problemas del repertorio para examen.
Objetivo principal: Conocer y usar con soltura
- el
cálculo diferencial de funciones de varias variables reales, y
- las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Objetivos más detallados
- Deducir propiedades locales y globales de las funciones de una, dos y tres variables a partir de sus gráficas y los mapas de las curvas y superficies de nivel.
- Modelar matemáticamente fenómenos naturales.
- Optimizar funciones. Ajustes por mínimos cuadrados.
- Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
- Calcular integrales de funciones de varias variables.
Imágenes para motivar el Capítulo 1
- Tema 0.- Funciones de una variable real. Repaso.
- Tema 1.- Vectores y matrices. Producto escalar.
- Tema 2.- Curvas y superficies de nivel.
- Tema 2 (sigue).- Límites y continuidad.
- Tema 2 (sigue).- Derivadas parciales y direccionales.
Diferencial.
- Tema 2 (sigue).-
Derivadas parciales segundas. Teorema de Schwarz. Gradiente. Función potencial.
- Tema 3.- Regla de la cadena. Aplicaciones geométricas. Plano tangente.
- Tema 4.- Máximos, mínimos y puntos de ensilladura.
Ajustes por mínimos cuadrados.
- Tema 4 bis.- Integrales curvilíneas. Integrales múltiples. Longitudes, áreas y volúmenes.
Imágenes para motivar el Capítulo 2
Metodología
Preocupado por extractar estos apuntes al máximo, he decidido señalar con la letra B
las páginas de material básico. Estás serán las explicadas en clase. Se ha relegado el material que no se presentará en clase con las
letras NB (No Básico); es aconsejable que los estudiantes lean su contenido ya que les ayudará a entender el material señalado con la letra
B .
Se hará más hincapié en los conceptos que en las definiciones y los teoremas.
Los conceptos serán introducidos mediante ejemplos y (casi) todas las clases son de resolución de ejercicios y explicación de ejemplos.
Se intentará explicar unas "matemáticas visuales". Para ello se hará uso abundante de figuras y gráficas para ilustrar los conceptos. Este aspecto incluirá figuras animadas. Los exámenes contendrán ejercicios visuales.
Exámenes parciales realizados.
Información
aquí.
- Primer examen parcial: 20 de octubre de 2011, jueves.
- Segundo examen parcial: 1 de diciembre de 2011, jueves.
Examen final.
Información sobre problemas de exámenes:
aquí.
- Ordinario: 27 de enero de 2012, a las 9.30 h.
- Extraordinario: 21 de junio de 2012 a las 9.30 h.
Las fechas de los exámenes finales fueron decididas por la Facultad de Farmacia.
Bibliografía básica
- R. Larson, R.P. Hostetler, B.H. Edwards: Cálculo II, 8ª edición. Mcgraw-Hill/Interamericana de México, México, 2006.
Para el Capítulo 1.
- O. Plaat: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Reverté, Barcelona, 1974. Para el Capítulo 2.
Bibliografía de profundización
- S. Lang: Linear algebra . Existe traducción al castellano Álgebra lineal . Para el Capítulo 1.
- T.M. Apostol: Calculus, Volumen 2. Reverté, Barcelona, 1978. Para el Capítulo 1.
- J.E. Marsden, A.J. Tromba: Cálculo vectorial. Pearson Educación, S.A., Madrid, 2004.
Traducido por P. Cifuentes y tres profesores más de la Universidad Autónoma de Madrid. Para el Capítulo 1.
- S. Lang: Calculus . Varios tomos. Breves y concisos. Para el Capítulo 1.
- S. Salas y E. Hille: Calculus, Tomo 2. Tercera edición, Reverté, Barcelona, 1994. Para el Capítulo 1.
- B. P. Demidóvich, G .Baranenkov: Problemas y ejercicios de análisis matemático, 11ª edición. Paraninfo, Madrid, 1993.
Para el Capítulo 1.
- P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R.Hall: Ecuaciones diferenciales. Thomson, México, 1999. Para el Capítulo 2.
- J. Polking, A. Boggess, D. Arnold: Differential equations. Prentice Hall, 2001. Para el Capítulo 2.
- P. Henrici: Discrete variable methods in ordinary differential equations. John Wyley, 1968. Para el Capítulo 2.
- A.I. Kiseliov , M.L. Krasnov, G.I. Makarenko: Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Mir, Moscú, 1992.
Para el Capítulo 2.
¿Puedo cursar esta asignatura?
Conocimientos previos
Es muy importante que el estudiante conozca y maneje con soltura antes de empezar a cursar esta asignatura los conceptos siguientes:
Hechos fundamentales
Cálculo infinitesimal: Funciones de una variable real, a saber
- idea intuitiva de límite y continuidad;
- saber derivar funciones elementales;
- derivabilidad: concepto y definición;
- interpretación física de la derivada: velocidad;
- interpretación geométrica de la derivada: recta tangente;
- recta tangente $\textstyle{y=mx+b}$ a una curva $\textstyle{y=f(x)}$; la pendiente $\textstyle{ m=f '(x)}$;
- tangente de un ángulo; relaciones entre estos conceptos;
- teorema de valor medio;
- las funciones con derivada nula son constantes;
- intervalos donde una función es monótona: creciente o decreciente;
- máximos y mínimos relativos;
- intervalos donde una función es cóncava o convexa; puntos de inflexión.
Funciones elementales
- Función exponencial $\textstyle{f(x)=\exp(x)=\mathrm{e}^x}$
- $\textstyle{ f '(x)=\exp(x)=\mathrm{e}^x}$;
- para todo número real $\textstyle{x}$ se tiene que $\textstyle{\mathrm{e}^x > 0}$;
- $\textstyle{\mathrm{e}^x}$ es una función estrictamente creciente;
- $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\mathrm{e}^x=\infty}$;
- $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\mathrm{e}^x=0}$;
- $\textstyle{\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x \mathrm{e}^y}$;
- $\textstyle{\mathrm{e}^0=1}$.
-
- Logaritmo neperiano $\textstyle{\ln x}$ : función recíproca o inversa de $\textstyle{\mathrm{e}^x}$;
- $\textstyle{\ln (xy) = \ln x + \ln y}$;
- $\textstyle{\ln 1 = 0}$;
- $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} \ln x =\infty}$;
- $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \ln x =-\infty}$.
-
- Funciones trigonométricas y sus inversas:
- $\textstyle{\mathrm{sen}\, x}$ ;
- $\textstyle{\cos x}$;
- $\textstyle{\mathrm{tg}\, x}$ ;
- $\textstyle{\mathrm{arcsen}\, x}$ ;
- $\textstyle{\mathrm{arccos}\, x}$ ;
- $\textstyle{\mathrm{arctg}\, x}$.
Geometría
- Teorema de Pitágoras.
- Semejanza de triángulos.
- Medida de un ángulo en radianes.
- Tangente de un ángulo.
- Producto escalar de vectores. Producto vectorial de vectores de tres dimensiones.
- Rectas en el plano. Vector normal a una recta.
- Rectas y planos en el espacio. Vector normal a un plano.
- Distancia de un punto a un plano.
- Ecuación de la circunferencia y de la elipse.
- Recta tangente a una circunferencia en un punto.
- Ecuación de una esfera.
- Plano tangente a una esfera en un punto.
Álgebra
- Suma y producto de matrices de dimensiones $\textstyle{\le 3}$.
- Determinante de matrices cuadradas de órdenes 2 y 3.
- Matriz inversa de matrices cuadradas de órdenes 2 y 3.
- Sistemas de ecuaciones lineales con 2 ó 3 incógnitas.
- Polinomios en una variable $\textstyle{p(x)}$ de grado $\textstyle{\le 3}$. Raíces.
- Representación gráfica de un polinomio $\textstyle{y=ax^2+bx+c}$. Discriminante $\textstyle{\Delta=b^2-4ac}$.
- Descomposición de una fracción racional $\textstyle{p(x)/q(x)}$ en fracciones simples.
Para repasar o aprender estos conceptos, lo mejor es que use sus libros de Matemáticas de 1º y 2º de Bachillerato.
No obstante, podemos recomendarle los tres libros siguientes:
- D. Pestana y otros: Curso práctico de cálculo y precálculo. Ariel, Barcelona, 2007.
- R. Larson y R. Hostetler : Precálculo, 7ª edición. Reverté, Barcelona.
- Claudia Neuhauser: Matemáticas para Ciencias, 2ª edición. Prentice-Hall, Madrid, 2004.
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